Question

給定兩個函數f(x)=

1

3

x3-

m+1

2

x2，g(x)=

1

3

-mx.解決如下問題：
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）在區間（2，+∞）為增函數，求m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若關于x的方程f（x）-g（x）=0有三個不同的根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據f（x）在x=1處取得極值求出m的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定單調性；
（2）由f（x）在區間（2，+∞）為增函數可轉化成f′（x）＞0在區間（2，+∞）上恒成立，化簡整理即可求出m的范圍；
（3）欲使方程f（x）-g（x）=0有三個不同的根，即函數h（x）=f（x）-g（x）與x軸有三個不同的交點，建立不等關系，求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-（m+1）x，
因為f（x）在x=1處取得極值，所以f'（1）=1²-（m+1）=0，
所以m=0
故f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2.（1分）
所以f'（x）=x²-x，
由f'（x）=x²-x=0
解得x=1或x=0
當x∈（-∞，0）時，f'（x）＞0；
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0
故函數的單調增區間是（-∞，0），（1，+∞）；單調遞減區間是（0，1）（3分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-（m+1）x，
因為f（x）在區間（2，+∞）為增函數，
所以x²-（m+1）x≥0在區間（2，+∞）上恒成立，即m+1≤x恒成立（5分）
由于x＞2，
所以m+1≤2，故m≤1．
當m=1時，f'（x）=x²-2x在x∈（2，+∞）恒大于0，
故f（x）在（2，+∞）上單調遞增，符合題意．
所以m的取值范圍m≤1（7分）
（Ⅲ）設h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-

m+1

2

x2+mx-

1

3

，
故h'（x）=（x-m）（x-1）．
令h'（x）=（x-m）（x-1）=0，
得x=m或x=1，
由（Ⅱ）知m≤1①
當m=1時，h'（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上是單調遞增，顯然不合題意（9分）
②當m＜1時，h（x）h'（x）隨x的變化情況如下表：（11分）
欲使方程f（x）-g（x）=0有三個不同的根，即函數h（x）=f（x）-g（x）與x軸有三個不同的交點，由該三次函數圖象可知，

＜br/＞- m3 6 + m2 2 - 1 3 ＞0 ＜br/＞ m-1 2 ＜0＜br/＞

，∴

＜br/＞(m-1)(m2-2m-2)＜0 ＜br/＞m＜1＜br/＞

，
解得m＜1-

3

綜上所述，m∈(-∞，1-

3

)（12分）

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．