Question

對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f(x)與g(x)，如果對任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1，則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是非接近的．現有兩個函數f₁(x)=log_a(x-3a)與f₂(x)=(a＞0，a≠1)，給定區間[a+2，a+3]．

(1)若f₁(x)與f₂(x)在給定區間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；

(2)討論f₁(x)與f₂(x)在給定區間[a+2，a+3]上是否是接近的．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意a＞0，a≠1且a+2-3a＞0 　　所以0＜a＜1． 　　(2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)| 　　令|f1(x)-f2(x)|≤1 　　得-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤l　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　∵　0＜a＜1 　　又[a+2，a+3]在x=2a的右側 　　∴　g(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上為減函數 　　從而g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a) 　　g(x)min=g(a+3)=loga(9-6a) 　　于是①式成立的充要條件是 　　 　　解此不等式組得0＜a≤ 　　故當0＜a≤時，f1(x)與f2(x)在[a+2，a+3]上是接近的； 　　當1>a>時，f1(x)與f2(x)在[a+2，a+3]上是非接近的．

提示：

本題是考查學生創新能力的綜合題，首先學生讀懂新運算定義，再利用函數單調性和不等式知識才可求出．