Question

對于區間［m,n］上有意義的兩個函數f(x)與?g(x),如果對任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是接近的.否則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是非接近的.現有兩個函數f₁(x)=log_a(x-3a)與f₂(x)=log_a(a＞0且a≠1)，給定區間［a+2,a+3］.

（1）若f₁(x)與f₂(x)在給定區間［a+2,a+3］上都有意義，求a的取值范圍;

（2）討論f₁(x)與f₂(x)在給定區間［a+2,a+3］上是否接近的.

Answer 1

解析：（1）由得0＜a＜1.

（2）|f₁(x)-f₂(x)|=|log_a［(x-3a)?(x-a)］|,

令|f₁(x)-f₂(x)|≤1,

得-1≤log_a［(x-3a)(x-a)］≤1.(*)

因為0＜a＜1,所以［a+2,a+3］在直線x=2a的右側.

所以g(x)=log_a［(x-3a)(x-a)］在［a+2,a+3］上為減函數.

所以g(x)_min=g(a+3)=log_a(9-6a),

g(x)_max=g(a+2)=log_a(4-4a).

于是（*）成立的充要條件是

∴0＜a＜.

所以當a∈（0，）時，f₁(x)與?f₂(x)是接近的;在a∈(,1)∪(1,?+∞)上是非接近的.