Question

若對于區(qū)間［m,n］上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果對任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是接近的,否則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是非接近的 .現(xiàn)有兩個函數(shù)f₁(x)=log_a(x-3a)與f₂(x)=log_a(a＞0,a≠1),給定區(qū)間［a+2,a+3］.

(1)若f₁(x)與f₂(x)在給定區(qū)間［a+2,a+3］上都有意義,求a的取值范圍;

(2)討論f₁(x)與f₂(x)在給定區(qū)間［a+2,a+3］上是否是接近的.

Answer 1

思路分析：解這類題目先一定要嚴格把握好題目中給出的新信息，本題中的“若對于區(qū)間［m,n］上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果對任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是接近的,否則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是非接近的” 這是定義,然后綜合以前所學的知識靈活解題.

解：(1)依題意a＞0,a≠1,a+2-3a＞0,a+2-a＞0,∴0＜a＜1.

(2) |f₁(x)-f₂(x)|=|log_a(x²-4ax+3a²)|.

令|f₁(x)-f₂(x)|≤1,得-1≤log_a(x²-4ax+3a²)≤1,

∵0＜a＜1,又［a+2,a+3］在x=2a的右側，

∴g(x)=log_a(x²-4ax+3a²)在［a+2,a+3］上為減函數(shù).①

從而g(x)_max=g(a+2)=log_a(4-4a),g(x)_min=g(a+3)=log_a(9-6a),

于是①成立，當且僅當解此不等式組,得0＜a≤.

故當0＜a≤時，f₁(x)與f₂(x)在［a+2,a+3］上是接近的;

當a＞且a≠1時，f₁(x)與f₂(x)在［a+2,a+3］上是非接近的.