Question

19．已知O，F分別為雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦點，點G，M分別在E的漸近線和右支，FG⊥OG，GM∥x軸，且|OM|=|OF|，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設M（m，n），則G（$\frac{an}$，n），利用FG⊥OG，求出n，可得m，利用|OM|=|OF|，求出E的離心率．

解答 解：設M（m，n），則G（$\frac{an}$，n），
∵FG⊥OG，∴$\frac{n}{\frac{an}-c}•\frac{a}=-1$，∴n=$\frac{ab}{c}$，
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，∴m²=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
∵|OM|=|OF|，∴$\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=c²，
∴2a²=c²，∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，確定M的坐標是關鍵．