Question

9．設拋物線E：y²=2px（p＞0）上的點M（x₀，4）到焦點F的距離|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）如圖，直線l：y=k（x+2）與拋物線E交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點是C，求證：直線BC恒過一定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據拋物線的性質得出x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，得出M的坐標，代入拋物線方程求出p即可；
（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯立，求出直線BC方程，即可得出結論．

解答 （Ⅰ）解：∵|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，∴x₀=2p．即M（2p，4）．
把M（2p，4）代入拋物線方程得4p²=16，解得p=2．
∴拋物線Γ的方程為y²=4x．
（Ⅱ）證明：由題意，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁） （x₁≠x₂）．
由直線代入拋物線方程，消y整理得ky²-4y+8k=0，
則y₁y₂=8．
直線BC：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-x₁），
所以y=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-x₁$\frac{{y}_{2}{y}_{1}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$）-，
所以y=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-2）．
∴直線BC恒過定點（2，0）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查拋物線的簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．