Question

14．已知正數a，b，c滿足2a-b+c=0，則$\frac{ac}{{b}^{2}}$的最大值為（　　）

• A． 8
• B． 2
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 正數a，b，c滿足2a-b+c=0，可得b=2a+c，于是$\frac{ac}{{b}^{2}}$=$\frac{ac}{（2a+c）^{2}}$=$\frac{ac}{4{a}^{2}+4ac+{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}+4}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵正數a，b，c滿足2a-b+c=0，∴b=2a+c，
則$\frac{ac}{{b}^{2}}$=$\frac{ac}{（2a+c）^{2}}$=$\frac{ac}{4{a}^{2}+4ac+{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}+4}$
≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4a}{c}•\frac{c}{a}}+4}$=$\frac{1}{8}$，當且僅當c=2a＞0時取等號．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．