Question

函數(shù)y=x²+1（0≤x≤1）圖象上點P處的切線與直線y=0，x=0，x=1圍成的梯形面積等于S，則S的最大值等于

 

，此時點P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)P點坐標(biāo)為（a，a²+1）則得到在P處的切線方程，利用定積分的方法求出梯形的面積，求出面積的最大值即可得到P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)P（a，a²+1）則過P的切線方程為：y=2ax-a²+1，
則S=∫₀¹（2ax-a²+1）dx=（ax²-a²x+x）|₀¹=-a²+a+1為二次函數(shù)，
當(dāng)a=

1

2

時，S有最大值，S_max=

5

4

．且此時P的坐標(biāo)為（

1

2

，

5

4

）．
故答案為

5

4

，（

1

2

，

5

4

）

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率并寫出切線方程的能力，以及會利用定積分求圖形面積的能力．