Question

2．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2，D，E分別是BB₁和AB的中點．
（1）證明：AD⊥平面A₁EC；
（2）求點B₁到平面A₁EC的距離．

Answer 1

分析 （1）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，過E作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AD⊥平面A₁EC．
（2）求出$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（1，0，2），平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{AD}$=（2，0，1），利用向量法能求出點B₁到平面A₁EC的距離．

解答 證明：（1）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，
過E作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（-1，0，0），D（1，0，1），A₁（-1，0，2），
E（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AD}$=（2，0，1），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
∵$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=-2+2=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EC}$=0，
∴AD⊥EA₁，AD⊥EC，
∵EA₁∩EC=E，∴AD⊥平面A₁EC．
解：（2）B₁（1，0，2），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（1，0，2），
∵AD⊥平面A₁EC，
∴平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{AD}$=（2，0，1），
∴點B₁到平面A₁EC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{E{B}_{1}}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．