Question

如圖，橢圓經過點離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)是經過右焦點的任一弦(不經過點)，設直線與直線相交于點，記的斜率分別為問:是否存在常數，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的定義、幾何性質可求；（Ⅱ）直線與橢圓相交，聯立消元，設點代入化簡可求.

試題解析：(Ⅰ)由在橢圓上得,   ①

依題設知,則    ②

②代入①解得.

故橢圓的方程為.         5分

(Ⅱ)由題意可設的斜率為, 則直線的方程為    ③

代入橢圓方程并整理,

得,                                      7分

設,則有     ④

在方程③中令得,的坐標為.

從而.

注意到共線,則有,即有.   

所以 

     ⑤                            11分

④代入⑤得,

又,所以.故存在常數符合題意.        15分

考點：橢圓，根與系數關系，坐標表示.