Question

如圖，橢圓經過點（0，1），離心率．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′（A′與B不重合），則直線A′B與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點（0，1）代入橢圓方程求得a和b的關系，利用離心率求得a和c的關系，進而聯立方程求得a和b，則橢圓的方程可得
（2）把直線方程與橢圓方程聯立消去y，設出A，B的坐標，則A′的坐標可推斷出，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進而可推斷出直線A′B與x軸交于定點（4，0）．
解答：解：（1）依題意可得，解得a=2，b=1．
所以，橢圓C的方程是；
（2）由
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且．
經過點A′（x₁，-y₁），
B（x₂，y₂）的直線方程為．
令y=0，則
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．∴當y=0時，
這說明，直線A′B與x軸交于定點（4，0）．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系．考查了學生基礎知識的綜合運用．