Question

如圖，橢圓經過點，其左、右頂點分別是、，左、右焦點分別是、，（異于、）是橢圓上的動點，連接交直線于、兩點,若成等比數列.

（Ⅰ）求此橢圓的離心率；

（Ⅱ）求證:以線段為直徑的圓過點.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于成等比數列，利用等比中項可知，在等式兩邊同時除以得；（Ⅱ）又由，橢圓經過點可知，可得橢圓方程為，設，利用點斜式求出，將與聯立，求出，則可求，得到結論.

試題解析：（1）由題意可知，成等比數列，所以；

（2）由，橢圓經過點可知，橢圓方程為

設，由題意可知

解得，則

故以線段為直徑的圓過點.

考點：1.等比中項的性質；2.直線與橢圓的位置關系；3.圓的定義.