Question

如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．當直線經過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點,

記△的面積為，△（為原點）的面積為，求的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）解：依題意，當直線經過橢圓的頂點時，其傾斜角為………1分

則 ．                                       …………2分

將  代入 ，

解得 ．                                                 ………3分

所以橢圓的離心率為 ．                                 …………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設為．              …………5分

設，．

依題意，直線不能與軸垂直，故設直線的方程為，將其代入

得 ．        …………7分

則 ，，

．                                   ………………8分

因為 ，

所以 ，．                   ………………9分

因為 △∽△，

所以                ………11分

．          ………………13分

所以的取值范圍是．