Question

如圖，橢圓的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．當直線AB經過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為60°．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點．記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點）的面積為S₂，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，當直線AB經過橢圓的頂點（0，b）時，其傾斜角為60°．
設 F（-c，0），則 ．
將 代入a²=b²+c²，得a=2c．
所以橢圓的離心率為 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ），橢圓的方程可設為，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依題意，直線AB不能與x，y軸垂直，故設直線AB的方程為y=k（x+c），將其代入3x²+4y²=12c²，
整理得 （4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0．
則 ，，所以．
因為 GD⊥AB，所以 ，．
因為△GFD∽△OED，
所以 =．
所以的取值范圍是（9，+∞）．
分析：（Ⅰ）由題意知當直線AB經過橢圓的頂點（0，b）時，其傾斜角為60°，設 F（-c，0），由直線斜率可求得b，c關系式，再與a²=b²+c²聯立可得a，c關系，由此即可求得離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓方程可化為，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意直線AB不能與x，y軸垂直，故設直線AB的方程為y=k（x+c），將其代入橢圓方程消掉y變為關于x的二次方程，由韋達定理及中點坐標公式可用k，c表示出中點G的坐標，由GD⊥AB得k_GD•k=-1，則D點橫坐標也可表示出來，易知△GFD∽△OED，故=，用兩點間距離公式即可表示出來，根據式子結構特點可求得的范圍；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓的簡單性質，考查學生分析解決問題的能力，運算量大，綜合性強，對能力要求較高．