Question

已知向量

a

=（4，3），

b

=（-1，2）．
（1）求

a

與

b

的夾角θ（用反余弦的符號表示）；
（2）若

a

-λ

b

與2

a

+

b

垂直，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

•

b

，以及它們的模長，可得夾角的余弦值，由反三角函數可得；（2）可得兩向量的坐標，由垂直可得其數量積為0，解此方程可得．

解答：解：（1）由題意可得

a

•

b

=4×（-1）+3×2=2，
∴|

a

|=

42+32

=5，|

b

|=

(-1)2+22

=

5

，…（3分）
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2 5

25

，故θ=arccos

2 5

25

． …（6分）
（2）∵

a

-λ

b

=（4+λ，3-2λ），2

a

+

b

=（7，8），

a

-λ

b

與2

a

+

b

垂直，
∴（

a

-λ

b

）•（2

a

+

b

）=0，即（4+λ，3-2λ）•（7，8）=0．
∴（4+λ）×7+（3-2λ）×8=0． …（10分）
解得λ=

52

9

． …（12分）

點評：本題查看平面向量的數量積和夾角的關系，涉及垂直關系的應用，屬中檔題．