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（2012•江蘇三模）如圖，△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則
AP
•
BP
的取值范圍是
[1，13]
[1，13]
．
分析：根據△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，算出
AP
•
BP
=6，分別將
AP
和
BP
分解為以
AC
、
BC
和
CP
為基向量的式子，將數量積
AP
•
BP
展開，化簡整理得
AP
•
BP
=7++
CP
（
AC
+
BC
）最后研究
AC
+
BC
的大小與方向，可得
CP
（
AC
+
BC
）的最大、最小值，最終得到
AP
•
BP
的取值范圍．
解答：解：∵|
AC
|=|
BC
|=2
3
，∠ACB=60°
∴
AC
•
BC
=2
3
•2
3
cos60°=6
∵
AP
=
AC
+
CP
，
BP
=
BC
+
CP

∴
AP
•
BP
=（
AC
+
CP
）（
BC
+
CP
）=
AC
•
BC
+
CP
（
AC
+
BC
）+
CP
2
∵|
CP
|=1
∴
AP
•
BP
=6+
CP
（
AC
+
BC
）+1=7+
CP
（
AC
+
BC
）
∵△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，
∴向量
AC
+
BC
是與AB垂直且方向向上，長度為6的一個向量
由此可得，點P在圓C上運動，當
CP
與
AC
+
BC
共線同向時，
CP
（
AC
+
BC
）取最大值，且這個最大值為6
當
CP
與
AC
+
BC
共線反向時，
CP
（
AC
+
BC
）取最小值，且這個最小值為-6
故
AP
•
BP
的最大值為7+6=13，最小值為7-6=1．即
AP
•
BP
的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
點評：本題在等邊三角形和單位圓中，求向量數量積的取值范圍，著重考查了平面向量的加減法則和平面向量數量積的運算性質，屬于中檔題．也可以利用向量的坐標運算，通過三角函數的有界性解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇三模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，圓C：（x+1）2+y2=16，點F（1，0），E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D．
（1）求點B的軌跡方程；
（2）當D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；
（3）若G是圓上的另一個動點，且滿足FG⊥FE．記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇三模）數列{an}的前n項和為Sn，存在常數A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C對任意正整數n都成立．
（1）若數列{an}為等差數列，求證：3A-B+C=0；
（2）若A=-
1
2
，B=-
3
2
，C=1，設bn=an+n，數列{nbn}的前n項和為Tn，求Tn；
（3）若C=0，{an}是首項為1的等差數列，設P=
2012
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求不超過P的最大整數的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇三模）在平面直角坐標系中，不等式組
y≥0
x-2y≥0
x+y-3≤0
表示的區域為M，t≤x≤t+1表示的區域為N，若1＜t＜2，則M與N公共部分面積的最大值為
5
6
5
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇三模）假定某人每次射擊命中目標的概率均為
12
，現在連續射擊3次．
（1）求此人至少命中目標2次的概率；
（2）若此人前3次射擊都沒有命中目標，再補射一次后結束射擊；否則．射擊結束．記此人射擊結束時命中目標的次數為X，求X的數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇三模）已知數列{an}滿足a1=2，且對任意n∈N*，恒有nan+1=2（n+1）an．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設區間[
an
3n
，
an+1
3(n+1)
]中的整數個數為bn，求數列{bn}的通項公式．

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同步練習冊答案
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