Question

（2012•江蘇三模）數列{a_n}的前n項和為S_n，存在常數A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C對任意正整數n都成立．
（1）若數列{a_n}為等差數列，求證：3A-B+C=0；
（2）若A=-

1

2

，B=-

3

2

，C=1，設b_n=a_n+n，數列{nb_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）若C=0，{a_n}是首項為1的等差數列，設P=

2012

i=1

1+ 1 a 2 i + 1 a 2 i+1

，求不超過P的最大整數的值．

Answer 1

分析：（1）先根據條件都轉化為首項和公差的形式，再根據等差數列的前n項和S_n所滿足的條件即可得到結論．
（2）先根據前n項和S_n以及通項之間的關系求出{a_n}的通項，進而得到數列{nb_n}的通項，再結合錯位相減法即可求出T_n；
（3）先根據條件求出{a_n}的通項；進而根據裂項求和法求出P的表達式，即可得到結論．

解答：解：（1）因為{a_n}為等差數列，設公差為d，由an+Sn=An2+Bn+C，
得a1+(n-1)d+na1+

1

2

n(n-1)d=An2+Bn+C，
即(

1

2

d-A)n2+(a1+

d

2

-B)n+(a1-d-C)=0對任意正整數n都成立．
所以

1 2 d-A=0 a1+ 1 2 d-B=0 a1-d-C=0

所以3A-B+C=0．       …（4分）
（2）因為an+Sn=-

1

2

n2-

3

2

n+1，所以a1=-

1

2

，
當n≥2時，an-1+Sn-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以bn=

1

2

bn-1(n≥2)，而b1=a1+1=

1

2

，
所以數列{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，所以bn=(

1

2

)n． …（7分）
于是nbn=

n

2n

．所以Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
由①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-(

1

2

)n-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

．
所以Tn=2-

2+n

2n

．…（10分）
（3）因為{a_n}是首項為1的等差數列，由（1）知，公差d=1，所以a_n=n．
而

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，…（14分）
所以P=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2012

-

1

2013

)=2013-

1

2013

，
所以，不超過P的最大整數為2012．…（16分）

點評：本題主要考察由數列的遞推式求數列的和，其中涉及到數列求和的錯位相減法以及裂項求和法，是對數列知識的綜合考察，主要考察計算能力．