Question

（2012•江蘇三模）已知數列{a_n}滿足a₁=2，且對任意n∈N^*，恒有na_n+1=2（n+1）a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設區間[

an

3n

，

an+1

3(n+1)

]中的整數個數為b_n，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=2（n+1）a_n，得

an+1

an

=

2(n+1)

n

，利用疊乘法，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）確定區間左右端點對應的通項，分n為奇數、偶數時討論，即可求數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）由na_n+1=2（n+1）a_n，得

an+1

an

=

2(n+1)

n

，當n≥2時，

an

an-1

=

2n

n-1

，
所以，當n≥2時，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=

2n

n-1

•

2(n-1)

n-2

•…

2•2

1

•2=n•2n，
此式對于n=1也成立，所以數列{a_n}的通項公式為an=n•2n．…（4分）
（2）由（1）知，

an

3n

=

2n

3

=

(3-1)n

3

=

C

0 n

3n-1-

C

1 n

3n-2+…+(-1)n-1

C

n-1 n

+

(-1)n

3

，

an+1

3(n+1)

=

2n+1

3

=

(3-1)n+1

3

=

C

0 n+1

3n-

C

1 n+1

3n-1+…+(-1)n

C

n n+1

+

(-1)n+1

3

，…（8分）
當n為奇數時，bn=(

2n+1

3

-

1

3

)-(

2n

3

+

1

3

)+1=

2n+1

3

；
當n為偶數時，bn=(

2n+1

3

+

1

3

-1)-(

2n

3

-

1

3

)=

2n-1

3

．…（10分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列通項，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．