Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線上與橢圓C交于A，B兩點，點，且，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）根據橢圓的定義首先求得橢圓的短半軸，進而根據離心率求得橢圓的半焦距，根，和的關系求得，則橢圓方程可得．

（2）把直線方程與橢圓方程聯立消去，根據直線與橢圓的兩個交點判斷出判別式大于0，求得的范圍，設，的坐標，則根據韋達定理求得，的表達式，根據直線方程求得的表達式，進而可表示出中點的坐標，根據推斷出，可知，求得，則直線方程可求得．

（1）由已知，，

解得，，

所以，

所以橢圓的方程為．

（2）由得，，

直線與橢圓有兩個不同的交點，所以△，

解得．

設，，，，

則，，

計算，

所以，，中點坐標為，

因為，所以，，

所以，

解得，

經檢驗，符合題意，

所以直線的方程為或．