Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大、最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)取得最大值2，求出φ，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由x的范圍，可求2x-$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由圖象可知，A=2，…（1分）
周期T=$\frac{4}{3}$[$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）]=π，
∴$\frac{2π}{|ω|}$=π，ω＞0，則ω=2，…（3分）
從而f（x）=2sin（2x+φ），代入點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，2），
得sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，則$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，…（5分）
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，則φ=-$\frac{π}{3}$，…（6分）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．…（7分）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則 2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，…（8分）
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）_max=2，…（10分）
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，即x=0時(shí)，f（x）_min=-$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力，常考題型．