Question

12．已知直角梯形ABEF，∠A=∠B=90°，AB=1，BE=2，AF=3，C為BE的中點，AD=1，如圖（1），沿直線CD折成直二面角，連結部分線段后圍成一個空間幾何體（如圖2）
（1）求異面直線BD與EF所成角的大小．
（2）設AD的中點為G，求二面角G-BF-E的余弦值．
（3）求過A、B、C、D、E這五個點的球的表面積．

Answer 1

分析 （1）以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．利用cos$＜\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{EF}＞$=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{EF}|}$，即可得出．
（2）$G（\frac{1}{2}，0，0）$，設平面$\overrightarrow{BEF}$的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{GF}=0}\end{array}\right.$，可得平面GBF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（4，-2，1），同理可得平面BEF的法向量$\overrightarrow{n_1}=（1，1，1）$．利用cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$，即可得出．
（3）連接AE，取中點為O，連接OA，OB，OC，OD，OE，由已知易得OA=OB=OC=OD=OE，可得DO長為所求球的半徑．

解答 解：（1）以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，2）．
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），cos$＜\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{EF}＞$=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴異面直線BD與EF所成角為$\frac{π}{3}$．
（2）$G（\frac{1}{2}，0，0）$，
設平面$\overrightarrow{BEF}$的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BF}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{GF}$=$（-\frac{1}{2}，0，2）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{GF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2z=0}\\{-\frac{1}{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，
取平面GBF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（4，-2，1），
同理可得平面BEF的法向量$\overrightarrow{n_1}=（1，1，1）$．
cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∵二面角G-BF-C與兩向量的夾角互補，
∴二面角G-BF-C的余弦值為：$-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
（3）連接AE，取中點為O，連接OA，OB，OC，OD，OE，
由已知易得OA=OB=OC=OD=OE，∴DO長為所求球的半徑．
O$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{DO}$=$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，∴r=$|\overrightarrow{DO}|$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_{球的表面積}=4πr²=3π．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角、法向量的應用、向量夾角公式、球的表面積、直角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．