Question

如圖，ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體，在圖(1)中E、F分別是D₁C₁、B₁B的中點，畫出圖(1)、(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線，并給出證明.

Answer 1

【探究】 在圖(1)中過點E作EN平行于BB₁交CD于點N，連結NB并延長交EF的延長線于點M，連結AM，則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

    在圖(2)中，延長DC，過點C₁作C₁M∥A₁B交DC的延長線于點M，連結BM，則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

    證明：在圖(3)中，因為直線EN∥BF，所以BNEF四點共面.因此EF與BN相交，交點為M.因為M∈EF，且M∈NB，而EF平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點.又因為點A是平面AEF和平面ABCD的公共點，故AM為兩平面的交線.

    在圖(4)中，C₁M在平面CDD₁C₁內，因此與DC的延長線相交，交點為M，則點M為平面A₁C₁B與平面ABCD的公共點，又點B是這兩個平面的公共點，因此直線BM是兩平面的交線.

【規律總結】 確定兩個平面的交線，就是找兩個平面的兩個公共點，一般題目都會給出一個公共點，在確定另一個公共點時通常利用分別在已知的兩個平面內的兩條直線的交點來確定.