Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結論中正確的是

①②④

．（把你認為正確的結論都填上）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁與底面ABCD所成角的正切值是

2

；
④二面角C-B₁D₁-C₁的正切值是

2

；
⑤過點A₁與異面直線AD與CB₁成70°角的直線有2條．

Answer 1

分析：根據直線和平面平行、直線和平面垂直的判定定理可得①②，根據求二面角的大小的方法可得③不正確、④正確，
再根據異面直線所成的角可得⑤不正確，由此得到答案．

解答：解：如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
由于BD∥B₁D₁ ，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁ ，故①正確．
由正方體的性質可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根據直線和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正確．
AC₁與底面ABCD所成角的正切值為

C C1

AC

=

1

2

，故③不正確．
取B₁D₁ 的中點M，則∠CMC₁ 即為二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，Rt△CMC₁中，tan∠CMC₁=

C C1

C1M

=

1

2 2

=

2

，故④正確．
由于異面直線AD與CB₁成45°的二面角，如圖，過A₁ 作MN∥AD、PQ∥CB₁，設MN與PQ確定平面α，∠PA₁M=45°，過A₁ 在面α上方作射線A₁H，
則滿足與MN、PQ 成70°的射線A₁H有4條：滿足∠MA₁H=∠PA₁H=70°的有一條，滿足∠PA₁H=∠NA₁H=70°的有一條，滿足∠NA₁H=∠QA₁H=70°的有一條，
滿足QA₁H=∠MA₁H=70°的有一條．故滿足與MN、PQ 成70°的直線有4條，故過點A₁與異面直線AD與CB₁成70°角的直線有4條，故⑤不正確．

故答案為 ①②④．

點評：本題主要考查求二面角的大小的方法，異面直線的判定，直線和平面平行、垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．