Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：A₁F⊥C₁E；
（2）當A₁、E、F、C₁共面時，求：
①D₁到直線C₁E的距離；
②面A₁DE與面C₁DF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，我們易給出正方體中各個點的坐標，進而求出向量

A1F

，

C1F

坐標，代入向量數量積公式，易得

A1F

•

C1F

=0，即A₁F⊥C₁E；
（2）①在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥C₁D₁，則△BC₁D₁與△EC₁D₁面積相待，故D₁到直線C₁E的距離h滿足

C1E×h

2

=

C1D1×BC1

2

，代入即可得到答案；
②我們求出面A₁DE與面C₁DF的法向量，求出兩個向量夾角的余弦的絕對值，即可得到答案．

解答：解：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則A₁（6，0，6）、C₁（0，6，6），設AE=m，則E（6，m，0），F（6-m，6，0），
從而

A1F

=(-m ， 6 ， -6)、

C1E

=(6 ， m-6 ， -6)，
∵

A1F

•

C1F

=0，
所以A₁F⊥C₁E（4分）．
（2）①當A₁、E、F、C₁共面時，
因為底面ABCD∥A₁B₁C₁D₁，
所以A₁C₁∥EF，
所以EF∥AC，
從而E、F分別是AB、BC的中點（7分），
設D₁到直線C₁E的距離為h，
在△C₁D₁E中，C1E=

62+62+32

=9，

C1E×h

2

=

C1D1×BC1

2

，
解得h=4

2

（7分）．
②由①得，E（6，3，0）、F（3，6，0），
設平面A₁DE的一個法向量為

n1

=(a ， b ， c)，
依題意

n1 • DE =6a+3b=0 n1 • DA1 =6a+6c=0

，
所以

n1

=(-1 ， 2 ， 1)，
同理平面C₁DF的一個法向量為

n2

=(2 ， -1 ， 1)，
由圖知，面A₁DE與面C₁DF所成二面角的余弦值
cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

2

點評：本題考查的知識點是向量語言表述線線的垂直、平行關系，點、線、面間的距離計算、用空間向量求平面間的夾角，其中建立空間坐標系，將總是轉化為一個向量計算問題是解答本題的關鍵．