Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結論中正確的結論是

①②

．（把你認為正確的結論都填上）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③過點A₁與異面直線AD和CB₁成90°角的直線有2條．

Answer 1

分析：根據直線和平面平行、直線和平面垂直的判定定理可得判斷①②的真假，根據異面直線所成的角可得③不正確，由此得到答案．

解答：解：如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
由于BD∥B₁D₁ ，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁ ，故①正確．
由正方體的性質可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根據直線和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正確．
過點A₁與異面直線AD成90°角的直線必和BC也垂直
過點A₁與直線CB₁成90°角的直線必和CB₁垂直
則該直線必和平面B₁C₁CB垂直，滿足條件的只有直線A₁B₁，
故③不正確．
故答案為 ①②

點評：本題主要考查求二面角的大小的方法，異面直線的判定，直線和平面平行、垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．