Question

17．已知命題p：方程$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{12-m}=1$表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：雙曲線$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3m}=1$的離心率e∈（2，3）；若p∨q為真，且p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 若p∨q為真，且p∧q為假，p、q一真一假，進而可得實數m的取值范圍．

解答 解：命題p為真時：0＜2m＜12-m，即：0＜m＜4…（2分）
命題p為假時：m≤0或m≥4
命題q為真時：$\left\{\begin{array}{l}4＜\frac{2+3m}{2}＜9\\ 3m＞0\end{array}\right.⇒2＜m＜\frac{16}{3}$…（4分）
命題q為假時：$m≥\frac{16}{3}或m≤2$，
由p∨q為真，p∧q為假可知：p、q一真一假…（6分）
②p真q假時$\left\{{\begin{array}{l}{0＜m＜4}\\{m≥\frac{16}{3}或m≤2}\end{array}⇒0＜m≤2}\right.$：…（7分）
②p假q真時：$\left\{{\begin{array}{l}{m≥4或m≤0}\\{2＜m＜\frac{16}{3}}\end{array}⇒4≤m＜\frac{16}{3}}\right.$…（8分）
綜上所述：0＜m≤2或$4≤m＜\frac{16}{3}$…（10分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，橢圓和雙曲線的性質，難度中檔．