Question

如圖，△ABC的BC邊的中點為M，利用向量證明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

Answer 1

【答案】分析：根據題意和向量加法的四邊形法則列出向量、和的關系，利用數量積和余弦定理把向量轉化為三角形中邊之間的關系．
解答：證明：設=，=，=，
∵BC邊的中點為M，
∴由四邊形法則得=，
∴•=•=•+•+²
=²+²+||•||•cos∠BAC
=||²+||²+||•||•
=AB²+AC²+（AB²+AC²-BC²）．
∴AM²=AB²+AC²-BC²．
又∵BC²=4BM²，
∴AB²+AC²=2（AM²+BM²）．
點評：本題考查了向量在幾何中的應用，主要根據題意和圖形構造向量，利用向量的運算進行求解或證明，常用知識點是：利用數量積運算實現向量和實數之間的轉化．