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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

如圖，△ABC的BC邊的中點為M，利用向量證明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

證明：設 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∵BC邊的中點為M，
∴由四邊形法則得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²+ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cos∠BAC
= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²+ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²+ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |• $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ AB²+ $\text{[math]}$ AC²+ $\text{[math]}$ （AB²+AC²-BC²）．
∴AM²= $\text{[math]}$ AB²+ $\text{[math]}$ AC²- $\text{[math]}$ BC²．
又∵BC²=4BM²，
∴AB²+AC²=2（AM²+BM²）．
分析：根據題意和向量加法的四邊形法則列出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的關系，利用數量積 $\text{[math]}$ 和余弦定理把向量轉化為三角形中邊之間的關系．
點評：本題考查了向量在幾何中的應用，主要根據題意和圖形構造向量，利用向量的運算進行求解或證明，常用知識點是：利用數量積運算實現向量和實數之間的轉化．

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