Question

21、如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．
求證：ED²=EB•EC．

Answer 1

分析：根據(jù)已知EA是圓的切線，AC為過切點(diǎn)A的弦得兩個(gè)角相等，再結(jié)合角平分線條件，從而得到△EAD是等腰三角形，再根據(jù)切割線定理即可證得．

解答：證明：因?yàn)镋A是圓的切線，AC為過切點(diǎn)A的弦，
所以∠CAE=∠CBA．
又因?yàn)锳D是?BAC的平分線，所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA²=EC•EB，
所以ED²=EB•EC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了弦切角定理的切割線定理．注意：切線長(zhǎng)的平方應(yīng)是EB和EC的乘積．