Question

如圖，△ABC的BC邊的中點為M，利用向量證明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

Answer 1

分析：根據題意和向量加法的四邊形法則列出向量

AM

、

AB

和

AC

的關系，利用數量積|a|2=

a

•

a

和余弦定理把向量轉化為三角形中邊之間的關系．

解答：證明：設

AM

=

m

，

AB

=

b

，

AC

=

c

，
∵BC邊的中點為M，
∴由四邊形法則得

m

=

b + c

2

，
∴

m

•

m

=

b + c

2

•

b + c

2

=

1

4

b

•

b

+

1

2

b

•

c

+

1

4

c

²
=

1

4

AB

²+

1

4

AC

²+

1

2

|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC
=

1

4

|

AB

|²+

1

4

|

AC

|²+

1

2

|

AB

|•|

AC

|•

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1

4

AB²+

1

4

AC²+

1

4

（AB²+AC²-BC²）．
∴AM²=

1

2

AB²+

1

2

AC²-

1

4

BC²．
又∵BC²=4BM²，
∴AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

點評：本題考查了向量在幾何中的應用，主要根據題意和圖形構造向量，利用向量的運算進行求解或證明，常用知識點是：利用數量積運算實現向量和實數之間的轉化．