Question

已知直線x-y+1=0經過橢圓S：的一個焦點和一個頂點，
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k，
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對任意k＞0，求證：PA⊥PB。

Answer 1

解：（1）在直線x-y+1=0中，
令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
∴c=b=1，
∴，
則橢圓方程為；
 （2）①，
M、N的中點坐標為，
所以；
②將直線PA方程y=kx代入，
解得，
記，
則，
于是C（m，0），
故直線AB方程為，
代入橢圓方程得，
由，
∴，
∴，
∴PA⊥PB。