Question

已知直線x+y-1=0與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，線段AB中點M在直線l：y=

1

2

x上．
（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓右焦點關于直線l的對稱點在單位圓x²+y²=1上，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出A、B兩點的坐標，聯立直線與橢圓的方程得關于x的一元二次方程；由根與系數的關系，可得x₁+x₂，
y₁+y₂；從而得線段AB的中點坐標，代入直線l的方程，得出a、c的關系，從而求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）設橢圓的右焦點坐標為F（b，0），F關于直線l的對稱點為（x₀，y₀），則由互為對稱點的連線被對稱軸垂直平分，可得方程組，解得x₀、y₀；代入圓的方程 x₀²+y₀²=1，得出b的值，從而得橢圓的方程．

解答：解：（1）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1.

得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0．…（1分）
△=-（2a²）²-（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，即a²+b²＞1．…（2分）
x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，y₁+y₂=-（ x₁+x₂）+2=

2b2

a2+b2

，
∴點M的坐標為（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）．…（4分）
又點M在直線l上，
∴

a2

a2+b2

-

2b2

a2+b2

=0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

．…（6分）
（2）由（1）知b=c，設橢圓的右焦點F（b，0）關于直線l：y=

1

2

x的對稱點為（x₀，y₀），
由

y0-0 x0-b • 1 2 =-1 y0 2 = 1 2 • x0+b 2

，解得

x0= 3 5 b y0= 4 5 b

…（10分）
∵x₀²+y₀²=1，
∴(

3

5

b)2+(

4

5

b)2=1，
∴b²=1，顯然有a²+b²=3＞1．…（12分）
∴所求的橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．…（14分）

點評：本題考查了直線與橢圓的綜合應用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計算能力；解題時應細心解答．