Question

　　已知定義在上的奇函數在處取得極值.

   （Ⅰ）求函數的解析式；

　 （Ⅱ）試證：對于區間上任意兩個自變量的值，都有成立；

  （Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，試求點P對應平面區域的面積.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅲ）8

解析:

（I）由題意，∴ ,

∴,又，

        即

        解得.

        ∴------------------------------------------------4分

   （II）∵，,

當時，，故在區間[－1，1]上為減函數，

∴

對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值，

∴-------------------------------9分

   （III）設切點為，則點M的坐標滿足

因，故切線的方程為：

，

∵，∴

整理得.

∵若過點可作曲線的三條切線，

∴關于方程有三個實根.

設，則

，

由，得或.

由對稱性，先考慮

∵在，上單調遞增，在上單調遞減.

∴函數的極值點為,或

∴關于方程有三個實根的充要條件是

，解得.

故時，點P對應平面區域的面積

故時，所求點P對應平面區域的面積為，即8.