Question

已知定義在上的奇函數在處取得極值.

   （Ⅰ）求函數的解析式；

　 （Ⅱ）試證：對于區間上任意兩個自變量的值，都有成立；

  （Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，試求點P對應平面區域的面積.

 

Answer 1

【答案】

（I）由題意，∴ ,∴,又，

        即  解得.  ∴-

 （II）∵，,

當時，，故在區間[－1，1]上為減函數，

∴

對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值，∴

   （III）設切點為，則點M的坐標滿足

因，故切線的方程為：，

∵，∴整理得.

∵若過點可作曲線的三條切線，

∴關于方程有三個實根.

設，則，

由，得或.

由對稱性，先考慮

∵在，上單調遞增，在上單調遞減.

∴函數的極值點為,或

∴關于方程有三個實根的充要條件是

，解得.   故時，

點P對應平面區域的面積

故時，所求點P對應平面區域的面積為，即8.

【解析】略