Question

2．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{ln（{x+1}）（{x＞0}）}\\{\frac{1}{2}x+1（{x≤0}）}\end{array}}\right.$，如果存在實數s，t，其中s＜t，使得f（s）=f（t），則t-s的取值范圍是（　　）

• A． [3-2ln2，2）
• B． [3-2ln2，e-1]
• C． [e-1，2]
• D． [0，e+1）

Answer 1

分析 由條件可得s=2ln（1+t）-2，0＜t≤e-1，t-s=2+t-2ln（1+t），令g（t）=2+t-2ln（1+t），0＜t≤e-1，求得導數和單調區間、極值和最值，即可得到所求范圍．

解答 解：由s＜t，使得f（s）=f（t），
可得$\frac{1}{2}$s+1=ln（1+t），
解得s=2ln（1+t）-2，0＜t≤e-1，
可得t-s=2+t-2ln（1+t），
令g（t）=2+t-2ln（1+t），0＜t≤e-1，
可得g′（t）=1-$\frac{2}{1+t}$=$\frac{t-1}{1+t}$，
由0＜t＜1，g（t）遞減；1＜t＜e-1，g（t）遞增，
可得g（1）取得極小值且為最小值3-2ln2；
由g（0）=2，g（e-1）=e-1．
綜上可得t-s的范圍為[3-2ln2，2）．
故選：A．

點評 本題考查分段函數的應用：求取值范圍，注意運用數形結合和函數的導數，求出函數的單調區間、極值和最值，考查轉化思想的運用，屬于中檔題．