Question

過點A（-4，0）向橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)引兩條切線，切點分別為B，C，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ab最大時橢圓的方程；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的橢圓，若其左焦點為F，過F的直線l與y軸交于點M，與橢圓的一個交點為Q，且|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：y=

3

3

(x+4)，聯立方程組

y= 3 3 (x+4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²，由△=0，可得a²+3b²=16，0＜ab≤

8 3

3

，當a²=3b²時，ab取最大值，求得a2=8，b2=

8

3

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由F(-

4 3

3

，0)，設直線方程為：y=k(x+

4 3

3

)，設Q（x₀，y₀），則M(0，

4 3

3

k)，當

MQ

=2

QF

時，有定比分點公式可得：x0=-

8 3

9

，y0=

4 3

9

k．由此能求出直線方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：y=

3

3

(x+4)（2分）
聯立方程組

y= 3 3 (x+4) x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²
即（a²+3b²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0有△=0，可得a²+3b²=16
因為a²+3b²=16，所以16≥2

3a2b2

，即0＜ab≤

8 3

3

（4分）
所以當a²=3b²時，ab取最大值；求得a2=8，b2=

8

3

故橢圓的方程為

x2

8

+

3y2

8

=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(-

4 3

3

，0)，設直線方程為：y=k(x+

4 3

3

)
設Q（x₀，y₀），則M(0，

4 3

3

k)當

MQ

=2

QF

時，有定比分點公式可得：x0=-

8 3

9

，y0=

4 3

9

k（8分）
代入橢圓解得k=±

114

6

直線方程為y=±

114

6

(x+

4 3

3

)（10分）
同理當

MQ

=-2

QF

時，16k2=-

40

3

無解
故直線方程為y=±

114

6

(x+

4 3

3

)（12分）

點評：本題考查求ab最大時橢圓的方程和求直線方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意培養計算能力．