Question

過點A（-4，0）向橢圓引兩條切線，切點分別為B，C，且△ABC為正三角形。
（Ⅰ）求ab最大時，橢圓的方程；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的橢圓，若其左焦點為F，過F的直線與y軸交于點M，與橢圓的一個交點為Q，且，求直線的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：，
聯立方程組，

即，

因為，所以，即，
所以當時，ab取最大值，解得，
故橢圓的方程為。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
設直線方程為：，

當時，由定比分點公式可得：
，
代入橢圓，解得，
∴直線方程為；
同理，當時，無解。
故直線方程為。