Question

過點A（-4，0）向橢圓引兩條切線，切點分別為B，C，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ab最大時橢圓的方程；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的橢圓，若其左焦點為F，過F的直線l與y軸交于點M，與橢圓的一個交點為Q，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：，聯立方程組，消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²，由△=0，可得a²+3b²=16，，當a²=3b²時，ab取最大值，求得，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由，設直線方程為：，設Q（x，y），則，當時，有定比分點公式可得：．由此能求出直線方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：（2分）
聯立方程組消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²
即（a²+3b²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0有△=0，可得a²+3b²=16
因為a²+3b²=16，所以，即（4分）
所以當a²=3b²時，ab取最大值；求得
故橢圓的方程為（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設直線方程為：
設Q（x，y），則當時，有定比分點公式可得：（8分）
代入橢圓解得直線方程為（10分）
同理當時，無解
故直線方程為（12分）
點評：本題考查求ab最大時橢圓的方程和求直線方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意培養計算能力．