Question

13．已知a，b是實(shí)數(shù)，且e＜a＜b，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a^b與b^a的大小關(guān)系是a^b＞b^a．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）在x＞e時(shí)是減函數(shù)．
∵e＜a＜b，
∴$\frac{lna}{a}＞\frac{lnb}{b}$，即blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
則a^b＞b^a．
故答案為：a^b＞b^a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)冪的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)有一定的難度，是中檔題．