Question

已知函數f（x）=

1 6 x+1，x≤1 lnx，x＞1

，則方程f（x）=ax恰有兩個不同的實根時，實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，作出圖象從而求出a的取值范圍．

解答： 解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，
∴y=f（x）與y=ax有2個交點，a表示直線y=ax的斜率，
作函數f（x）=

1 6 x+1，x≤1 lnx，x＞1

的圖象如右圖，
當x＞1時，f′（x）=

1

x

，
設切點為（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切線方程為y-y₀=

1

x0

（x-x₀），而切線過原點，
∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直線l₁的斜率為

1

e

，
又∵直線l₂與y=

1

6

x+1平行，
∴直線l₂的斜率為

1

6

，
∴實數a的取值范圍是[

1

6

，

1

e

），
故答案為：[

1

6

，

1

e

）．

點評：本題考查了分段函數的圖象的作法，同時考查了數形結合的數學思想的應用，屬于難題．