Question

已知函數f（x）＝ex－ax－1（e為自然對數的底數），a＞0．

（1）若函數f（x）恰有一個零點，證明：aa＝ea－1；

（2）若f（x）≥0對任意x∈R恒成立，求實數a的取值集合．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）{1}.

【解析】

試題分析：（1）先判斷f（x）的單調性，根據“f（x）前有一個零點”，找到關于a的等式，化簡整理可得需證結論；（2）根據（1），只需f（x）的最小值不小于0即可.

試題解析：（1）證明： 由，得．

由＞0，即＞0，解得x＞lna，同理由＜0解得x＜lna，

∴ f（x）在（－∞，lna）上是減函數，在（lna，＋∞）上是增函數，

于是f（x）在x＝lna取得最小值．

又∵ 函數f（x）恰有一個零點，則，

即．

化簡得：，

∴ ．

（2）【解析】
由（1）知，在取得最小值，

由題意得≥0，即≥0，

令，則，

由可得0＜a＜1，由可得a＞1．

∴ h（a）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，即，

∴ 當0＜a＜1或a＞1時，h（a）＜0，

∴ 要使得f（x）≥0對任意x∈R恒成立，a＝1

∴ a的取值集合為{1}

考點：導數，函數的零點，恒成立問題