Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，左頂點、上頂點分別為A，B，△OAB的面積為3（點O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P、Q分別是AB、橢圓C上的動點，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0），求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，s_△OAB=$\frac{1}{2}ab$=3，a²-b²=c²，求得a²，b²即可．
（2）由（1）得直線AB的方程為：2x-3y+6=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x-3y+6=0}\end{array}\right.$得P（$\frac{6}{3k-2}$，y₁）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{4{x}^{2}+9{y}^{2}=36}\end{array}\right.$得Q（$\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，y₂）
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0）得λ=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{3k-2}$=-$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4-12k+12k}{9{k}^{2}+4-12k}}$=-$\sqrt{1+\frac{12k}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{1+\frac{12}{9k+\frac{4}{k}-12}}$即可求解．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，s_△OAB=$\frac{1}{2}ab$=3，a²-b²=c²∴a²=9，b²=4．
橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由（1）得A（-3，0），B（0.2），∴直線AB的方程為：2x-3y+6=0．
∵P、Q分別是AB、橢圓C上的動點，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0），∴P、O、Q三點共線，
設直線PQ的方程為：y=kx （k＜0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x-3y+6=0}\end{array}\right.$得P（$\frac{6}{3k-2}$，y₁）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{4{x}^{2}+9{y}^{2}=36}\end{array}\right.$得Q（$\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，y₂）
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0）得$\frac{6}{3k-2}=λ\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$
λ=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{3k-2}$=-$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4-12k+12k}{9{k}^{2}+4-12k}}$
=-$\sqrt{1+\frac{12k}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{1+\frac{12}{9k+\frac{4}{k}-12}}$
∵k＜0∴9k+$\frac{4}{k}≤-12$，∴-1＜λ＜≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當直線PQ的斜率為0或不存在時，λ=-1，
綜上：實數λ的取值范圍：[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，用斜率表示出參數是關鍵，屬于中檔題．