Question

16．已知△ABC是一個面積較大的三角形，點P是△ABC所在平面內一點且$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，現將3000粒黃豆隨機拋在△ABC內，則落在△PBC內的黃豆數大約是1500粒．

Answer 1

分析 根據向量加法的平行四邊形法則，結合共線向量充要條件，得點P是△ABC邊BC上的中線AO的中點．再根據幾何概型公式，將△PBC的面積與△ABC的面積相除可得概率，即可得到本題的答案．

解答 解：以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=-2$\overrightarrow{PA}$，
得：$\overrightarrow{PD}$=-2$\overrightarrow{PA}$，
由此可得，P是△ABC邊BC上的中線AO的中點，
點P到BC的距離等于A到BC的距離的$\frac{1}{2}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，黃豆落在△PBC內的概率為P=$\frac{1}{2}$，
將3000粒黃豆隨機拋在△ABC內，則落在△PBC內的黃豆數大約是1500粒．
故答案為1500粒．

點評 本題給出點P滿足的條件，求P點落在△PBC內的概率，著重考查了平面向量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識，屬于中檔題．