Question

已知函數
（Ⅰ）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在實數m，n同時滿足以下條件：①m＞n＞3；②當h（a）的定義域為[n，m]時值域為[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設 ，利用換元法，可將已知函數化為一個二次函數，根據二次函數在定區間上的最值問題，即可得到h（a）的解析式．
（Ⅱ）由（I）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上為減函數，進而根據h（a）的定義域為[n，m]時值域為[n²，m²]構造關于m，n的不等式組，如果不等式組有解，則存在滿足條件的m，n的值；若無解，則不存在滿足條件的m，n的值．
解答：解：（Ⅰ）設 ，∵x∈[-1，1]，∴------------------------（1分）
則原函數可化為------------（2分）
討論 ①當時，-------------（3分）
②當時，h（a）=φ（t）_min=φ（a）=3-a²-------------（4分）
③當a＞3時，h（a）=φ（t）_min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴--------------（6分）

（Ⅱ） 因為h（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函數，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h（a）在[n，m]上的值域為[n²，m²]，
∴即：-----（9分）
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故滿足條件的實數m，n不存在．-------------------（12分）
點評：本題考查的知識點是指數函數的綜合應用，其中（I）的關鍵是利用換元法，將函數解析式化為二次函數，（II）的關鍵是判斷h（a）在（3，+∞）上為減函數進而構造關于m，n的不等式組．