Question

已知函數．
（Ⅰ）若f'（2）=0，求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，對f（x）求導，根據f'（2）=0，即可求得k的值，從而求的函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）要使函數f（x）在其定義域內為增函數，只需函數f′（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，即，kx²-2x+k≥0在區間（0，+∞）上恒成立，然后利用分離參數法，轉化為求函數的最值，即可求得實數k的取值范圍．
解答：解：f′（x）=k+-=
由f'（2）=0，得k=，
函數f（x）=，
（Ⅱ）函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），
要使函數f（x）在其定義域內為增函數，只需函數f′（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，即，
kx²-2x+k≥0在區間（0，+∞）上恒成立，
即k≥在區間（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，x∈（0，+∞），
g（x）==，當且僅當x=1時取等號，
∴k≥1．
點評：此題是個中檔題．本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題，體現了轉化的數學思想，很好的考查了學生的計算能力．