Question

已知對(duì)于任意的a∈R，關(guān)于x的方程4x+2x-|a-

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4

|-|a|+b=0總有實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

（-∞，

1

4

）

．

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程4x+2x-|a-

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4

|-|a|+b=0總有實(shí)根，利用換元法將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x有交點(diǎn)，在（0，+∞）上恒成立，再利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求出b的取值范圍；

解答：解：∵關(guān)于x的方程4x+2x-|a-

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4

|-|a|+b=0總有實(shí)根，
令2^x=t＞0，得f（t）=t²+t-|a-

1

4

|-|a|+b=0在（0，+∞）上總有根，
令k=-|a-

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4

|-|a|+b，得f（t）=t²+t+k

△＞0 f(0)＜0

可得k＜0，-|a-

1

4

|-|a|+b＜0，
b＜|a-

1

4

|+|a|，b小于|a-

1

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|+|a|的最小值，
∵|a-

1

4

|+|a|≥

1

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，
∴b＜

1

4

，
實(shí)數(shù)b的取值范圍是：（-∞，

1

4

）；
故答案為（-∞，

1

4

）；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)的零點(diǎn)的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，函數(shù)與方程的思想得到了很好的體現(xiàn)．