Question

已知二次函數f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a
（1）判斷命題：“對于任意的a∈R（R為實數集），方程f（x）=1必有實數根”的真假，并寫出判斷過程．
（2）若y=f（x）在區間[2，3]內有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）是真命題；依題意得 x²+（2a-1）x=0有實根，根據它的判別式△≥0對于任意的a∈R（R為實數集）恒成立，可得x²+（2a-1）x=0必有實根，從而得出結論（2）令二次函數f（x）=0，可得 x²=（x-1）（1-2a），即1-2a=

x2

x-1

．令g（x）=

x2

x-1

，利用導數符號求得g（x）在[2，3]上單調遞增，由此求得g（x）的值域，可得1-2a的范圍，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）“對于任意的a∈R（R為實數集），方程f（x）=1必有實數根”是真命題；
依題意：f（x）=1有實根，即 x²+（2a-1）x=0有實根，
由于判別式△=（2a-1）²-0=（2a-1）²≥0對于任意的a∈R（R為實數集）恒成立，
即x²+（2a-1）x=0必有實根，從而，方程f（x）=1必有實數根．
（2）令二次函數f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a=0，則 x²=（x-1）（1-2a）．
因為x∈[2，3]，所以x-1＞0，1-2a=

x2

x-1

．
令g（x）=

x2

x-1

，則 g′（x）=

x2-2x

(x-1)2

，
令 g′（x）=0，解得x₁=0（舍去），或x₂=2．
在[2，3]上，g′（x）＞0，g（x）在[2，3]上單調遞增，
故g（x）的最小值為g（2）=4，最大值g（3）=

9

2

，
故4≤1-2a≤

9

2

，解得-

7

4

≤a≤-

3

2

，
所以實數a的取值范圍為[-

7

4

，-

3

2

]．

點評：本題主要考查二次函數的性質，利用導數研究函數的單調性，由單調性求函數的值域，屬于基礎題．