Question

【題目】如圖所示，已知四棱錐 中，

.

（1）證明：頂點在底面的射影為邊的中點；

（2）點在上，且，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)取的中點為，連接，由題意可證得平面則，由勾股定理可得，據此有底面，即頂點在底面的射影為邊的中點.

(2)由題意結合(1)的結論求得三棱錐的高，且底面積，則三棱錐的體積.

試題解析：

（1）取的中點為，連接，

則，因為，

所以四邊形是正方形， ，

因為為中點，所以，

由，所以平面平面，

所以，因為，所以 ，

則在中， ，

所以，

在中， ，

所以，即，又

所以底面，即頂點在底面的射影為邊的中點.

（2）由題設與（1）可得 ，

因為，所以，解得，所以，

又，設三棱錐的高為，則，又，

所以三棱錐的體積.