Question

18．在直角坐標系xoy中，已知曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y={sin^2}α\end{array}\right.$（α為參數），在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C₃：ρ=2sinθ
（1）求曲線C₁，C₂交點的直角坐標
（2）設點A、B分別為曲線C₂，C₃上的動點，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （l）求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程，聯立方程組能求出曲線C₁與C₂的交點M的直角坐標．
（2）曲線C₃是以C（0，1）為圓心，半徑r=1的圓，求出圓心C，點B到直線x+y+1=0的距離d，d'，由此能求出|AB|的最大值．

解答 解：（1）由曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y={sin^2}α\end{array}\right.$（α為參數），
消去參數α可得：得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可變形為ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲線C₂：x+y+1=0，②，
聯立①②可得：消去y可得：x²-x-2=0，解得x=-1或x=2（舍去），
∴M（-1，0）．
（2）曲線C₃：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C₃：x²+（y-1）²=1，是以C（0，1）為圓心，半徑r=1的圓，
而曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即x+y+1=0是一條直線，
設圓心C到直線x+y+1=0的距離分別為d，
則d=$\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
分析可得|AB|≤d+1=$\sqrt{2}$+1，
則|AB|的最大值為$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查曲線的交點的直角坐標的求法，考查線段的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．