Question

【題目】已知函數，．

（1）若存在極大值，證明：；

（2）若關于的不等式在區間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）．（x∈（0，+∞））．對a分類討論，即可得出單調性極值．進而證明結論．

（2）令h（x）=f（x）+ex-1-1=lnx-ax+a+ex-1-1，x∈[1，+∞），h（1）=0．，，對a分類討論，利用導數研究函數的單調性、極值與最值即可得出．

（1）

當時，，單調遞增，不存在極大值，

所以，在上單調遞增，在上單調遞減，

的極大值為．

設，，

在上單調遞減，在上單調遞增，．

所以的極大值大于等于0．

（2）設，

，，

所以單調遞增，

由知在上單調遞減，在上單調遞增，

，，

若，則，在恒成立，

此時，函數在上單調遞增，，滿足條件．

若，則，所以存在使得，

即在內，有，在上單調遞減，

不滿足條件．

綜上，．